Question

（2007•揭阳二模）已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=

1

2

(1-an)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n＜

1

2

；
（Ⅲ）设函数f（x）=log

1

3

x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求

n

i=1

1

bi

．

Answer 1

分析：（I）利用数列递推式，再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出S_n的表达式，即可证明结论；
（III）求出b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），利用裂项法求和即可．

解答：（Ⅰ）解：当n≥2时，an=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)=-

1

2

an+

1

2

an-1，
∴2a_n=-a_n+a_n-1
∴

an

an-1

=

1

3

，----------------------------------（4分）
由S1=a1=

1

2

(1-a1)得a1=

1

3

∴数列{a_n}是首项a1=

1

3

、公比为

1

3

的等比数列，
∴an=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n------（6分）
（Ⅱ）证明：由Sn=

1

2

(1-an)得Sn=

1

2

[1-(

1

3

)n]---------------------------------（8分）
∵1-(

1

3

)n＜1，∴

1

2

[1-(

1

3

)n]＜

1

2

∴Sn＜

1

2

---------------------------------------------------------（10分）
（Ⅲ）解：∵f(x)=log

1

3

x，
∴bn=log

1

3

a1+log

1

3

a2+…+log

1

3

an=log

1

3

(a1a2…an)
=log

1

3

(

1

3

)1+2+…+n=1+2+…+n=

n(1+n)

2

-------------------（12分）
∴

1

bn

=

2

n(1+n)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴

n

i=1

1

bi

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

n+1

--------（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，确定数列的通项，正确运用裂项法是关键．