Question

2．已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，求椭圆的离心率．
本例中将条件“过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形”改为“A为y轴上一点，AF₁的中点恰好在椭圆上，若△AF₁F₂为正三角形”，如何求椭圆的离心率？
“若△ABF₂是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的$\frac{2}{3}$”求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 由△ABF₂是正三角形可知|AF₁|=tan30°•|F₁F₂|，即a²-c²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ca，由此推导出这个椭圆的离心率；
变式1．运用等边三角形的性质和椭圆的定义，及离心率公式，计算即可得到所求；
变式2．由题意可得，$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{2}{3}$b，运用离心率公式计算即可得到..

解答 解：△ABF₂是正三角形，可得|AF₁|=tan30°•|F₁F₂|，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，
即a²-c²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ca，由e=$\frac{c}{a}$，可得
e²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$e-1=0，
解之得：e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值舍去）．
即有离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
变式1．设AF₁的中点M恰好在椭圆上，
由题意可得|MF₁|=c，|MF₂|=$\sqrt{3}$c，
由椭圆的定义可得2a=|MF₁|+|MF₂|=（1+$\sqrt{3}$）c，
即有离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1；
变式2．由题意可得$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{2}{3}$b，即有2a=3b，
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{4}{9}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的基本性质及其应用，主要考查椭圆的离心率的求法，考查运算能力，属于中档题..