Question

（2012•宿州三模）已知四棱锥P-ABCD的直观图及三视图如图所示．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）若E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角D-AP-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三视图可知，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC⊥面ABCD，且PC=2，由锥体体积公式可求体积；
（Ⅱ）连接AC，交BD于点F，则F为AC中点，连接EF，利用EF∥PA，证明PA∥平面BDE；
（Ⅲ）以C为坐标原点，以CD、CB、CP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAD的法向量

n1

=(2，0，1)，面PAB的法向量

n2

=(0，2，1)，利用向量的夹角公式可得结论．

解答：解：由三视图可知，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC⊥面ABCD，且PC=2…（2分）
（Ⅰ）由锥体体积公式得VP-ABCD=

1

3

SABCD×PC=

1

3

×1×2=

2

3

…（4分）
（Ⅱ）连接AC，交BD于点F，则F为AC中点，连接EF，
则EF为三角形PAC中位线，所以EF∥PA，
又PA?平面BDE，EF?平面BDE，∴PA∥平面BDE…（6分）
（Ⅲ）以C为坐标原点，以CD、CB、CP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，1，0），A（1，1，0），
∴

AD

=(0，-1，0)，

PD

=(1，0，-2)，

AB

=(-1，0，0)，

PB

=(0，1，-2)…（8分）
设面PAD的法向量

n1

=(x，y，z)
由

AD • n1 =0 PD • n2 =0

，可得

-y=0 x-2z=0

，取

n1

=(2，0，1)
同理得面PAB的法向量

n2

=(0，2，1)…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

5

∵二面角D-AP-B为钝二面角
∴二面角的余弦值为-

1

5

…（12分）

点评：本题考查三视图还原出立体图形，考查线面偶像，考查面面角，考查利用空间向量的方法求解面面角，综合性强．