Question

5．已知函数f（x）=x³+$\frac{3}{2}$（1-a）x²-3ax+1，a＞0，
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：对于任意整数a，存在整数p，使得当x∈[0，p]时，有|f（x）|≤1；
（3）设（2）中的p的最大值为g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入函数f（x）的表达式，求出函数的导数，从而求出函数f（x）的单调区间；
（2）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，分别求出f（0），f（a）的值，从而得到结论；
（3）先求出g（a）的表达式，通过讨论a的范围，从而综合得到结论．

解答 解：（1）a=1时，f′（x）=3x²-3=3（x²-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）递增，在（-1，1）递减；
（2）∵f′（x）=3x²+3（1-a）x-3a=3（x-a）（x+1），且a＞0，
∴f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
又f（0）=1，f（a）=-$\frac{1}{2}$a³-$\frac{3}{2}$a²+1=$\frac{1}{2}$（1-a）（a+2）²-1，
当f（a）≥-1时，取p=a，
此时，当x∈[0，p]时有-1≤f（x）≤1成立，
当f（a）＜-1时，由于f（0）+1=2＞0，f（a）+1＜0，
故存在p∈（0，a）使得f（p）+1=0，
此时，当x∈[0，p]时有-1≤f（x）≤1成立，
综上，对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有-1≤f（x）≤1．
（3）由（2）得f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（a），
当0＜a≤1时，f（a）≥-1，则g（a）是方程f（p）=1满足p＞a的实根，
即2p²+3（1-a）p-6a=0满足p＞a的实根，
∴g（a）=$\frac{3（a-1）+\sqrt{{9a}^{2}+30a+9}}{4}$，
又g（a）在（0，1]上单调递增，故g（a）_max=g（1）=$\sqrt{3}$，
当a＞1时，f（a）＜-1，
由于f（0）=1，f（1）=$\frac{9}{2}$（1-a）-1＜-1，
故[0，p]⊆[0，1]，
此时g（a）≤1，
综上，g（a）_max=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，本题属于难题．