Question

若函数f（x）=x（lnx-a）（a为实常数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设g（x）=|f（x）|．
①求函数g（x）的单调区间；
②若函数h（x）=

1

g(x)

的定义域为[1，e²]，求函数h（x）的最小值m（a）．

Answer 1

分析：（1）将a=0代入f（x），即可得到f（x）的表达式，求出f′（x），根据导数的几何意义，切线的斜率k=f′（1），切点为（1，0），由点斜式即可得到函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）根据绝对值的定义，先将g（x）=|f（x）|转化为g（x）=

xlnx-ax，x≥ea ax-xlnx，x＜ea

，①对g（x）分两段进行分析，当x≥e^a时，令g′（x）＞0和g′（x）＜0，求解即可得到g（x）的单调区间，当x＜e^a时，令g′（x）＞0和g′（x）＜0，求解即可得到g（x）的单调区间；②根据h（x）的定义域，以及分母不为零，可以得到a＞2或a＜0，当a＜0时，可以判断函数g（x）在[1，e²]上单调递增，从而得到g（x）的最大值，即可得到h（x）的最小值，当2＜a＜3时，根据g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，从而得到h（x）的最小值，当a≥3时，根据g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，从而得到h（x）的最小值，最后，将最小值根据a的不同取值范围，写成分段函数的形式，即可得到答案．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
∴k=f′（1）=1，
又当x=1时，y=0，
∴切点为（1，0），
∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-1；
（2）∵g（x）=|f（x）|=|x（lnx-a）|=x|lnx-a|=

xlnx-ax，x≥ea ax-xlnx，x＜ea

，
①当x≥e^a时，g′（x）=lnx+1-a＞0恒成立，
∴x∈（e^a，+∞）时，函数g（x）为增函数；
当x＜e^a时，g′（x）=a-1-lnx，令g′（x）=a-1-lnx＞0，得0＜x＜e^a-1，
令g′（x）=a-1-lnx＜0，得x＞e^a-1，
∴函数g（x）的单调增区间为（e^a，+∞），（0，e^a-1）；单调减区间为（e^a-1，e^a）；
②当x∈[1，e²]时，lnx∈[0，2]，
∵h（x）=

1

g(x)

=

1

x|lnx-a|

的定义域为[1，e²]，
∴a＞2或a＜0，
（i）当a＜0时，e^a＜1，
∴函数g（x）在[1，e²]上单调递增，则g（x）的最大值为（2-a）e²，
∴h（x）在区间[1，e²]上的最小值为m（a）=

1

(2-a)e2

；
（ii）当2＜a＜3时，e²＜e^a，且1＜e^a-1＜e²，
∴函数g（x）在[1，e^a-1）上单调递增，在（e^a-1，e²]上单调递减，则g（x）的最大值为e^a-1，
∴h（x）在区间[1，e²]上的最小值为m（a）=

1

ea-1

；
（iii）当a≥3时，e^a-1＞e²，
∴函数g（x）在[1，e²]上单调递增，则g（x）的最大值为（a-2）e²，
∴h（x）在区间[1，e²]上的最小值为m（a）=

1

(a-2)e2

．
综上所述，函数h（x）的最小值m（a）=

1 (2-a)e2 ，a＜0 1 ea-1 ，2＜a＜3 1 (a-2)e2 ，a≥3

．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值问题．对于函数的定义域是指使得函数的解析式有意义的取值范围，要熟悉基本初等函数的定义域以及常见函数的限制条件．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．