Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N₊）
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，求b_n；
（2）若cn=

1

an+1-2an

，求{c_n}的前6项和T₆；
（3）若dn=

an

2n

，证明{d_n}是等差数列．

Answer 1

解（1）∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N₊），
∴S_n+2=4a_n+1+2a_n+2=S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n），
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
即b_n+1=2b_n
∴{b_n}是公比为2的等比数列，且b₁=a₂-2a₁
∵a₁=1，a₂+a₁=S₂
即a₂+a₁=4a₁+2，
∴a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=5-2=3，
∴bn=3•2n-1．
（2）∵cn=

1

an+1-2an

=

1

bn

=

1

3•2n-1

，
∴c1=

1

3•21-1

=

1

3

，∴cn=

1

3

•(

1

2

)n-1
∴{c_n}是首项为

1

3

，公比为

1

2

的等比数列．
∴T6=

1 3 [1-( 1 2 )6]

1- 1 2

=

2

3

(1-

1

64

)=

61

96

．
（3）∵dn=

an

2n

，bn=3•2n-1，
∴dn+1-dn=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

bn

2n+1

即dn+1-dn=

3•2n-1

2n+1

=

3

4

，
∴{d_n}是等差数列．