Question

24.已知函数f（x）=

 

其中f₁（x）=－2（x－）²+1，f₂（x）=－2x+2.

 

（Ⅰ）在下面坐标系上画出y=f（x）的图象；

 

（Ⅱ）设y=f₂（x）（x[]）的反函数为y=g（x），a₁=1，a₂=g（a₁），…，a_n=g（a_n－1）；

 

求数列｛a_n｝的通项公式，并求；

 

（Ⅲ）若x₀[0，），x₁=f（x₀），f（x₁）=x₀，求x₀.

Answer 1

24.本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、运算的能力.

解：

（Ⅰ）函数图象：

　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　

说明：图象过（0，）、（，1）、（1，0）点；在区间[0， ）上的图象为上凸的曲线段；在区间[，1]上的图象为直线段.

 

 

（Ⅱ）f₂（x）=－2x+2，x∈[，1]的反函数为：y=1－，x∈[0，1].     

 

由已知条件得：

a₁=1，

 

a₂=1－，

 

a₃=1－，

 

a₄=1+（）¹+，

……

∴=，

即　，　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

∴.　　　　　　　　　　　　　

 

 

（Ⅲ）由已知x₀∈[0，），

 

∴x₁=f₁（x₀）=1－2（x₀－）².

 

由f₁（x）的值域，得x₁∈[]，

 

∴f₂（x₁）=2－2[1－2（x₀－）²]=4（x₀－）².

 

由f₂（x₁）=x₀，整理得  ，

 

解得　x₀=1或x₀=.