Question

14．如图所示，已知ΘO₁和ΘO₂相交于A，B两点．过点A作ΘO₁的切线交ΘO₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交ΘO₁，ΘO₂于点D，E，DE与AC相交于点P，

（Ⅰ）求证：PE•AD=PD•CE；
（Ⅱ）若AD是ΘO₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到∠CAB=∠D，∠CAB=∠E，则∠F=∠D，根据内错角相等，得到AD∥CE，即可证明PE•AD=PD•CE；
（Ⅱ）利用△PCE∽△PAD，结合相交弦定理，切割线定理，即可求AD的长．

解答 （1）证明：连接AB，
∵CA切⊙O₁于A，
∴∠CAB=∠D，
∵∠CAB=∠E，
∴∠E=∠D．
∴AD∥CE，
∴△PCE∽△PAD．
∴$\frac{PE}{PD}=\frac{CE}{AD}$．
∴PE•AD=PD•CE；
（Ⅱ）解：设BP=x，PE=y，
∵PA=6，PC=2，
∴xy=12①
∵△PCE∽△PAD，
∴$\frac{DP}{EP}=\frac{AP}{CP}$，
∴$\frac{9+x}{y}=\frac{6}{2}$②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-12}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍去），
∴DE=9+x+y=16，
∵AD是ΘO₂的切线，
∴AD²=DB•DE=9×16，
∴AD=12．

点评 本题考查三角形相似的证明，考查相交弦定理，切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．