Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足acosB+bcos（B+C）=0．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若2（b²+c²-a²）=bc，求sinB+cosC的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式左边第二项利用诱导公式化简，再利用正弦定理化简后，利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到A=B，即可确定出三角形为等腰三角形；
（2）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，进而求出sinA的值，根据A=B，且A+B+C=π将所求式子化为关于sinA的关系式，把sinA的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）将acosB+bcos（B+C）=0，利用正弦定理化简得：sinAcosB+sinBcos（B+C）=sinAcosB-sinBcosA=sin（A-B）=0，
∵A、B为三角形内角，∴A-B=0，即A=B，
则△ABC为等腰三角形；
（2）∵2（b²+c²-a²）=bc，即b²+c²-a²=

1

2

bc
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1 2 bc

2bc

=

1

4

，sinA=

1-cos2A

=

15

4

∵A=B，A+B+C=π，
∴sinB+cosC=sinA-cos（A+B）=sinA-cos2A=sinA-1+2sin²A=

7+2 15

8

．

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．