题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0 有一根为Sn-1，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）求{an}的通项公式。
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）求{an}的通项公式。
解：（I）当n=1时，
，有一根为
，
于是
，解得
；
当n=2时，有一根为
，
于是
，解得
；
（II）由题设
，
即
，
当n≥2时，
，代入上式得
， ①
由（I）知
，
，
由①可得，
，
由此猜想
，
下面用数学归纳法证明这个结论
（i）n=1时已知结论成立；
（ii）假设n=k时结论成立，即
，
当n=k+1时，由①得
，即
，
故n=k+1时结论也成立；
综上，由（i）、（ii）可知
对所有正整数n都成立；
于是当n≥2时，
，
又n=1时，
，
所以{an}的通项公式为
。
，有一根为，于是
，解得；当n=2时，有一根为
，于是
，解得；（II）由题设
，即
，当n≥2时，
，代入上式得， ① 由（I）知
，，由①可得，
，由此猜想
，下面用数学归纳法证明这个结论
（i）n=1时已知结论成立；
（ii）假设n=k时结论成立，即
，当n=k+1时，由①得
，即，故n=k+1时结论也成立；
综上，由（i）、（ii）可知
对所有正整数n都成立；于是当n≥2时，
，又n=1时，
，所以{an}的通项公式为
。 
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