题目内容
（2013•广州一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．（1）求证：CE∥平面A1BD；
（2）若H为A1B上的动点，当CH与平面A1AB所成最大角的正切值为
| ||
| 2 |
分析：（1）通过补形，延长延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF，从而可证明CE∥BF，然后由线面平行的判定定理得证；
（2）由已知找出C点在平面A1AB上的射影CE，CE为定值，要使直线CH与平面A1AB所成最大角的正切值为
，则点H到E点的距离应最小，由此得到H的位置，进一步求出EH的长度，则在直角三角EHB中可得到BH的长度，利用已知条件证出BF⊥平面A1AB，从而得到∠EBH为平面A1BD与平面ABC所成的二面角，在直角三角形EHB中求其余弦值．
本题也可以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决．
（2）由已知找出C点在平面A1AB上的射影CE，CE为定值，要使直线CH与平面A1AB所成最大角的正切值为
| ||
| 2 |
本题也可以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决．
解答：法一、
（1）证明：如图，
延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF．
∵CD∥AA1，且CD=
AA1，
∴C为AF的中点．
∵E为AB的中点，
∴CE∥BF．
∵BF?平面A1BD，CE?平面A1BD，
∴CE∥平面A1BD．
（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE?平面ABC，
∴AA1⊥CE．
∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，CE=
AB=
．
∵AB?平面A1AB，AA1?平面A1AB，AB∩AA1=A，
∴CE⊥平面A1AB．
∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．
∵CE=
，
在Rt△CEH中，tan∠EHC=
=
，
∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．
∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan∠EHC=
=
=
．
∴EH=
．
∵CE∥BF，CE⊥平面A1AB，
∴BF⊥平面A1AB．
∵AB?平面A1AB，A1B?平面A1AB，
∴BF⊥AB，BF⊥A1B．
∴∠ABA1为平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）．
在Rt△EHB中，BH=
=
，cos∠ABA1=
=
．
∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为
．
法二、
（1）证明：如图，
取A1B的中点F，连接DF、EF．
∵E为AB的中点，
∴EF∥AA1，且EF=
AA1．
∵CD∥AA1，且CD=
AA1，
∴EF∥CD，EF=CD．
∴四边形EFDC是平行四边形．
∴CE∥DF．
∵DF?平面A1BD，CE?平面A1BD，
∴CE∥平面A1BD．
（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE?平面ABC，
∴AA1⊥CE．
∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，CE=
AB=
．
∵AB?平面A1AB，AA1?平面A1AB，AB∩AA1=A，
∴CE⊥平面A1AB．
∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．
∵CE=
，
在Rt△CEH中，tan∠EHC=
=
，
∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．
∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan∠EHC=
=
=
．
∴EH=
．
在Rt△EHB中，BH=
=
．
∵Rt△EHB～Rt△A1AB，
∴
=
，即
=
．
∴AA1=4．
以A为原点，与AC垂直的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），A1（0，0，4），B(
，1，0)，D（0，2，2）．
∴
=（0，0，4），
=(
，1，-4)，
=（0，2，-2）．
设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z），
由
•
=0，
•
=0，
得
，令y=1，则z=1，x=
．
∴平面A1BD的一个法向量为n=(
，1，1)．
∵AA1⊥平面ABC，∴
=（0，0，4）是平面ABC的一个法向量．
∴cos?n，
＞=
=
．
∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为
．
（1）证明：如图，
延长A1D交AC的延长线于点F，连接BF．
∵CD∥AA1，且CD=
| 1 |
| 2 |
∴C为AF的中点．
∵E为AB的中点，
∴CE∥BF．
∵BF?平面A1BD，CE?平面A1BD，
∴CE∥平面A1BD．
（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE?平面ABC，
∴AA1⊥CE．
∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，CE=
| ||
| 2 |
| 3 |
∵AB?平面A1AB，AA1?平面A1AB，AB∩AA1=A，
∴CE⊥平面A1AB．
∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．
∵CE=
| 3 |
在Rt△CEH中，tan∠EHC=
| CE |
| EH |
| ||
| EH |
∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．
∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan∠EHC=
| CE |
| EH |
| ||
| EH |
| ||
| 2 |
∴EH=
2
| ||
| 5 |
∵CE∥BF，CE⊥平面A1AB，
∴BF⊥平面A1AB．
∵AB?平面A1AB，A1B?平面A1AB，
∴BF⊥AB，BF⊥A1B．
∴∠ABA1为平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）．
在Rt△EHB中，BH=
| EB2-EH2 |
| ||
| 5 |
| BH |
| EB |
| ||
| 5 |
∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为
| ||
| 5 |
法二、
（1）证明：如图，
取A1B的中点F，连接DF、EF．
∵E为AB的中点，
∴EF∥AA1，且EF=
| 1 |
| 2 |
∵CD∥AA1，且CD=
| 1 |
| 2 |
∴EF∥CD，EF=CD．
∴四边形EFDC是平行四边形．
∴CE∥DF．
∵DF?平面A1BD，CE?平面A1BD，
∴CE∥平面A1BD．
（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE?平面ABC，
∴AA1⊥CE．
∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，CE=
| ||
| 2 |
| 3 |
∵AB?平面A1AB，AA1?平面A1AB，AB∩AA1=A，
∴CE⊥平面A1AB．
∴∠EHC为CH与平面A1AB所成的角．
∵CE=
| 3 |
在Rt△CEH中，tan∠EHC=
| CE |
| EH |
| ||
| EH |
∴当EH最短时，tan∠EHC的值最大，则∠EHC最大．
∴当EH⊥A1B时，∠EHC最大．此时，tan∠EHC=
| CE |
| EH |
| ||
| EH |
| ||
| 2 |
∴EH=
2
| ||
| 5 |
在Rt△EHB中，BH=
| EB2-EH2 |
| ||
| 5 |
∵Rt△EHB～Rt△A1AB，
∴
| EH |
| AA1 |
| BH |
| AB |
| ||||
| AA1 |
| ||||
| 2 |
∴AA1=4．
以A为原点，与AC垂直的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），A1（0，0，4），B(
| 3 |
∴
| AA1 |
| A1B |
| 3 |
| A1D |
设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z），
由
| n |
| A1B |
| n |
| A1D |
得
|
| 3 |
∴平面A1BD的一个法向量为n=(
| 3 |
∵AA1⊥平面ABC，∴
| AA1 |
∴cos?n，
| AA1 |
n•
| ||
|n||
|
| ||
| 5 |
∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为
| ||
| 5 |
点评：本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法．是中档题．
练习册系列答案
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