Question

已知函数f(x)=x+

m

x

，且f（1）=2
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明；
（3）若f（a）＞2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（1）=2，代入可得m的值，进而求出函数的解析式，根据函数奇偶性的定义判断f（-x）与f（x）的关系，可得函数的奇偶性
（2）任取1＜x₁＜x₂，判断f（x₂）与f（x₁）的大小，进而根据函数单调性的定义，可得函数的单调性
（3）由（1）中所得函数的解析式，构造关于a的不等式，解不等式可得答案．

解答：解：∵f(x)=x+

m

x

，且f（1）=2
∴1+m=2，解得 m=1…（1分）
（1）y=f（x）为奇函数，理由如下：…..（2分）
∵f(x)=x+

1

x

，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称…..（3分）
又f(-x)=(-x)+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)
所以y=f（x）为奇函数…（4分）
（2）f（x）在（1，+∞）上的单调递增，理由如下…..（5分）
设1＜x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=x2+

1

x2

-(x1+

1

x1

)=(x2-x1)(1-

1

x1x2

)…（7分）
∵1＜x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，1-

1

x1x2

＞0
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），f（x）在（1，+∞）上的单调递增  …（9分）
（3）若f（a）＞2，
即a+

1

a

＞2，显然a＞0
则原不等式可化为a²-2a+1=（a-1）²＞0
解得a＞0且a≠1

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，熟练掌握函数奇偶性与单调性的定义是解答的关键．