Question

7．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，3$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+4$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$=0．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）求三角形ABC的外接圆半径R；
（3）若∠APC=60°，求PA+PC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量式和已知数据可得cosB=-cosD，由余弦定理可得AC²=52-48cosB，AC²=20+16cosB，解方程组可得cosB=$\frac{1}{2}$，AC=2$\sqrt{7}$，进而可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由三角形的面积公式可得；
（2）由正弦定理可得2R=$\frac{AC}{sinB}$，代入数据可得R；
（3）由余弦定理和基本不等式可得PA+PC的一个范围，再由三角形的三边关系可得．

解答 解：（1）∵3$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+4$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，
∴3|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AD}$|cosA+4|$\overrightarrow{CB}$||$\overrightarrow{CD}$|cosC=0
又∵AB=AD=4，BC=6，CD=2，∴cosA=-cosC，
∵0＜A＜π，0＜C＜π，∴A+C=π，
∴B+D=π，∴cosB=-cosD，
由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB=52-48cosB；
同理可AC²=AD²+CD²-2AD•CDcosD=20+16cosB；
联立以上两式可得cosB=$\frac{1}{2}$，AC=2$\sqrt{7}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB+$\frac{1}{2}$AD•CD•sinD
=$\frac{1}{2}$×4×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×4×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$；
（2）由正弦定理可得2R=$\frac{AC}{sinB}$，代入数据可得R=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$；
（3）由（1）可得AC=2$\sqrt{7}$，若∠APC=60°，
则由余弦定理可得AC²=PA²+PC²-2PA•PCcos60°
=PA²+PC²-PA•PC=（PA+PC）²-3PA•PC
≥（PA+PC）²-3•（$\frac{PA+PC}{2}$）²，
代入数据解关于AP+PC的不等式可得PA+PC≤4$\sqrt{7}$，
再由三角形两边之和大于第三边可得PA+PC＞AC=2$\sqrt{7}$，
∴PA+PC的取值范围（2$\sqrt{7}$，4$\sqrt{7}$]．

点评 本题考查平面向量的数量积和解三角形，涉及基本不等式的应用和三角形的面积公式，属中档题．