Question

函数f（x）=log_a（1-ax）在（0，2）上单调递增，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先将函数f（x）=log_a（1-ax）转化为y=log_at，t=1-ax两个基本函数，再利用复合函数的单调性和对数函数真数大于0，列出不等关系式，求解即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=log_a（1-ax），
∴令y=log_at，t=1-ax，
∵a＞0，
∴t=1-ax在（1，3）上单调递减，
∵f（x）=log_a（1-ax）（a＞0且a≠1）在区间（1，3）内单调递增，
∴函数y=log_at是减函数，且1-ax＞0在（1，3）上恒成立，
则有

0＜a＜1 1-3a≥0

，
解得0＜a≤

1

3

，
∴实数a的取值范围是0＜a≤

1

3

．
故答案为：0＜a≤

1

3

．

点评：本题考查了对数函数的性质，主要考查了复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．本题容易忽视t=1-ax＞0恒成立的情况而导致出错．属于中档题．