Question

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切列关于a，b的方程组，解方程组求解a，b的值；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，由导函数大于0求解x的取值范围，得函数的增区间，由导函数小于0求解x的取值范围，得函数的减区间，从而得到函数的极值点．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³-3ax+b（a≠0），得f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切
∴

f′(2)=0 f(2)=8

，∴

3(4-a)=0 8-6a+b=8

，解得：a=4，b=24，
∴a=4，b=24；
（Ⅱ）由f（x）=x³-3ax+b（a≠0），得
f′（x）=3x²-3a，
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）为定义域上的增函数，函数f（x）不存在极值；
当a＞0时，由3x²-3a＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，
由3x²-3a＜0，得-

a

＜x＜

a

．
∴函数f（x）在(-∞，-

a

)，(

a

，+∞)上为增函数，在(-

a

，

a

)上为减函数．
∴x=-

a

是f（x）的极大值点，x=

a

是f（x）的极小值点．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数导函数的符号与原函数的单调性之间的关系，是中档题．