Question

如图所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB。现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积。

（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。

Answer 1

解：（1）∵EF⊥AB， ∴EF⊥PE 又∵PE⊥AE，EF∩AE=E，且PE在平面ACFE外， ∴PE⊥平面ACFE ∵EF⊥AB，CD⊥AB， ∴EF∥CD ∴ 所以四边形ACFE的面积 ∴四棱锥P-ACFE的体积 即； （2）由（1）知 令V'（x）=0x=6 ∵当0＜x＜6时，V'（x）>0，当6＜x＜时，V'（x）＜0 ∴当BE=x=6时，V（x）有最大值，最大值为；
（3）如图，以点E为坐标原点，向量分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系 则E（0，0，0），P（0，0，6），， 于是 AC与PF所成角θ的余弦值为 ∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为。