Question

已知函数
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）写出f（x））的单调区间，并用定义证明f（x）在所写区间上的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函数的定义域，就是寻找使函数成立的x的值，因为函数有分母，要想使函数有意义，必须分母不等于0，解不等式即可得到函数的定义域．
求函数的值域，就是找函数中y的取值范围，根据函数解析式，先把4^x用y表示，再根据4^x的范围得到含y的代数式的范围，再解关于y的不等式即可．
（2）用定义证明函数单调性的步骤，首先设在所给区间上有任意两个自变量x₁，x₂，x₁＜x₂，再作差比较f（x₁）
与f（x₂）的大小，当f（x₁）＜f（x₂）时，函数在该区间上为增函数，当f（x₁）＞f（x₂）时，函数在该区间上为减函数．
解答：解：（1）
要使函数成立，需满足4^x≠1，即4^x≠4，解得≠0
∴定义域为x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
y＞1或y＜-1
∴函数的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）和（-∞，0）
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）==
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴，
∴＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）==
∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴，
∴＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数．
点评：本题主要考查了函数定义域和值域的求法，以及定义法判断函数的单调区间，属于函数的常规题型．