Question

设a、b、x、y∈R⁺,a、b为常数,且=1,求x+y的最小值.

Answer 1

错解：∵x+y=(x+y)·,∴(x+y)_min=.

错因分析:x+y≥中等号成立的条件是x=y,≥中等号成立的条件是,而=1,∴x=2a,y=2b.此时a不一定等于b,故上述解法有误.

正解一:(消元法)∵=1,∴y=且x＞a.

∴x+y=x+=x+=x+b+=x-a++a+b≥+a+b=(+)².

正解二:(妙用“1”)x+y=(x+y)()=a++b≥a+b+=(+)².

正解三:(三角代换)令=cos²θ,=sin²θ,则x+y=asec²θ+bcsc²θ=a(1+tan²θ)+b(1+cot²θ)

=a+b+atan²θ+bcot²θ≥a+b+=()².

上述三种解法均可得出当且仅当x=+a,y=+b时取等号,故(x+y)_min=()².