题目内容

已知a＞0，b＞0，试比较
a
b
+
b
a
与
a
+
b
的大小．
分析：欲比较
a
b
+
b
a
与
a
+
b
的大小，可先作差
a
b
+
b
a
-（
a
+
b
）后，与0比较大小．若差大于0，则前者大，若差值小于
0，则后者大，若等于0，则两者相等．
解答：解：（
a
b
+
b
a
）-（
a
+
b
）
=
a
a
+b
b
-
ab
(
a
+
b
)
ab

=
a
a
+b
b
-a
b
-b
a
ab

=
a(
a
-
b
)-b(
a
-
b
)
ab

=
(
a
-
b
)(a-b)
ab

=
(
a
+
b
)(
a
-
b
)2
ab
．
∵a＞0，b＞0．∴
a
+
b
＞0，
ab
＞0．
又∵（
a
-
b
）2≥0（当且仅当a=b时等号成立），
∴
(
a
+
b
)(
a
-
b
)2
ab
≥0．
即
a
b
+
b
a
≥
a
+
b
（当且仅当a=b时等号成立）．
点评：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法．用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号．
练习册系列答案
相关题目
已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，则α+β的最小值为（　　）
（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）与直线l：
x=1+2t
y=1-t
（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．
（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．
已知a＞0，b＞0，a+b=1，则a+
1
a
+b+
1
b
的最小值为
5
5
．
已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．

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