Question

设函数，且，其中n=1，2，3，…．

（I）计算a₂，a₃，a₄的值；

（II）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．

Answer 1

考点：

数学归纳法；数列递推式．

专题：

证明题；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．

分析：

（I）由a_n+1=，a₁=，即可求得a₂，a₃，a₄的值；

（II）由a₁，a₂，a₃，a₄，可猜想a_n=，用数学归纳法证明，①当n=1时，去证明结论成立；②假设当n=k（k∈N*）时等式成立，去证明当n=k+1时，猜想也成立即可．

解答：

解：（I）由题意，得a_n+1=，（1分）

因为a₁=，

所以a₂=，a₃=，a₄=．（3分）

（II）解：由a₁，a₂，a₃，a₄，猜想a_n=（5分）

以下用数字归纳法证明：对任何的n∈N*，a_n=

证明：①当n=1时，由已知，左边=，右边==，所以等式成立．（7分）

②假设当n=k（k∈N*）时等式成立，即a_k=，（8分）

则n=k+1时，a_k+1=====．

所以当n=k+1时，猜想也成立．（12分）

根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．（13分）

点评：

本题考查数列递推式，考查数学归纳法，证明时用好归纳假设是关键，突出考查推理与证明的能力，属于中档题．