Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.

(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值;

(2)求点D到平面PAB的距离.

Answer 1

解:(1)如图所示,连结AC、BD交于点O,连结EO.

∵四边形ABCD为正方形,∴AO=CO.

又∵PE=EC,∴PA∥EO.

∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角.

∵面PCD⊥面ABCD,AD⊥CD,

∴AD⊥面PCD.∴AD⊥PD.

在Rt△PAD中,PD=AD=a,则PA=a,

∴EO=

又∵DE=a,DO=a,

∴cos∠DEO=

∴异面直线PA与DE的夹角的余弦值为.

(2)取DC的中点M,AB的中点N,连结PM、MN、PN.

∵DC∥AB,DC面PAB,∴DC∥面PAB.

∴点D到面PAB的距离等于点M到面PAB的距离.

过点M作MH⊥PN于H点,

∵面PDC⊥面ABCD,PM⊥DC,

∴PM⊥面ABCD.∴PM⊥AB.

又∵AB⊥MN,PM∩MN=M,

∴AB⊥面PMN.

∴面PAB⊥面PMN.∴MH⊥面PAB.

则MH就是点D到面PAB的距离.

在Rt△PMN中,MN=a,PM=a,

∴PN=

∴MH=