题目内容
已知函数f(x)=
+4(x≥4)的反函数为f-1(x),数列{an}满足:a1=1,an+1=f-1(an)(n∈N*),数列b1,b2-b1,b3-b2,…,bn-bn-1是首项为1、公比为
的等比数列.(1)求证:数列{
}为等差数列;
(2)若cn=
·bn,求数列{cn}的前n项和Sn.
解：(1)∵f(x)=x-+4=(-2)2(x≥4),∴f-1(x)=(+2)2(x≥0).
∴an+1=f-1(an)=(+2)2,即
=2(n∈N*).
∴数列{
}是以
=1为首项、公差为2的等差数列.
(2)由(1),得
=1+2(n-1)=2n-1,即an=(2n-1)2(n∈N*),
b1=1,当n≥2时,bn-bn-1=(
)n-1,∴bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=1+
+(
)2+…+(
)n-1=
(1
).因而bn=
(1
),n∈N*.
cn=
=(2n-1)·
(1
),
∴Sn=c1+c2+…+cn=
［1+3+5+…+(2n-1)-
］.
令
, ①
则
. ②
①-②,得
.
∴
.又1+3+5+…+(2n-1)=n2,∴
.
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