Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，acosC=ccosA．
（1）求B；
（2）判断△ABC的形状；
（3）若b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简a=bcosC+csinB，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用正弦定理化简acosC=ccosA，变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A与C的关系，即可做出判断；
（3）根据b及cosB的值，利用余弦定理求出其他边的长，利用三角形面积公式求出即可．

解答：解：（1）利用正弦定理化简a=bcosC+csinB，得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，
由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
代入得：sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，
整理得：cosBsinC=sinCsinB，
∵sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∴B=45°．
（2）利用正弦定理化简acosC=ccosA，
得：sinAcosC=sinCcosA，即sinAcosC-sinCcosA=sin（A-C）=0，
∴A-C=0，即A=C，
则△ABC为等腰三角形．
（3）∵A=C，∴a=c，
∵b=2，cosB=

2

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即4=（2-

2

）a²，
∴a²=

4

2- 2

=4-2

2

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

a²sin45°=

2

-1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．