Question

已知函数，。

（1）若对任意的实数a，函数与的图象在x = x₀处的切线斜率总想等，求x₀的值；

（2）若a > 0，对任意x > 0不等式恒成立，求实数a的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）a-1（2）

【解析】

试题分析：解：(Ⅰ)恒成立，恒成立即.  

方法一：恒成立，则

而当时，

则，，在单调递增，

当，， 在单调递减，

则，符合题意.

即恒成立，实数的取值范围为；

方法二：，

(1)当时，，，，在单调递减，

当，，在单调递增，

则，不符题意；

(2)当时，，

①若，，，，单调递减；当，， 单调递增，则，矛盾，不符题意；

②若，

（Ⅰ）若，；；

，在单调递减，在单调递增，在单调递减，不符合题意；

（Ⅱ）若时，，，在单调递减，，不符合题意.

（Ⅲ）若，，，，，，，， 在单调递减，在单调递增，在单调递减，，与已知矛盾不符题意.

（Ⅳ）若，，，，在单调递增；

当，， 在单调递减，

则，符合题意；

综上，得恒成立，实数的取值范围为

(Ⅱ) 由(I)知，当时，有，；于是有 ，.

则当时，有

在上式中，用代换，可得

相乘得

考点：导数的运用

点评：解决的关键是借助于导数的符号来判定函数的单调性，以及函数的最值，进而证明不等式，属于基础题。