Question

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）F抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F，
设M，，由题意可知，
则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，
于是抛物线C的方程为。
（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，
而，，，
，，
由可得，，
则，即，解得，
点M的坐标为
（Ⅲ）若点M的横坐标为，则点M，。
由可得，
设，
圆，
，
于是，
令，
设，，
当时，，
即当时.
故当时，。