Question

直角三角形两直角边边长分别为3和4，将此三角形绕其斜边旋转一周，求得到的旋转体的表面积和体积．

Answer 1

分析：由题意，所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成．利用解三角形知识，算出圆锥的底面半径，结合锥体的侧面公式得到旋转体的表面积S=

84π

5

，再由锥体的体积公式，算出体积为V=

48π

5

．

解答：解：根据题意，所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成
它的底面半径等于直角三角形斜边上的高，高分别等于两条直角边在斜边的射影长
∵两直角边边长分别为3和4，
∴斜边长为

32+42

=5，
由面积公式可得斜边上的高为h=

3×4

5

=

12

5

可得所求旋转体的底面半径r=

12

5

因此，两个圆锥的侧面积分别为
S_上侧面=π×

12

5

×4=

48π

5

；S_下侧面=π×

12

5

×3=

36π

5

∴旋转体的表面积S=

48π

5

+

36π

5

=

84π

5

由锥体的体积公式，可得旋转体的体积为V=

1

3

π×(

12

5

)2×5=

48π

5

点评：本题给出直角三角形旋转一周，求转成的几何体的体积和表面积．着重考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题．