Question

在△ABC中，cosB=

4

5

，b=6．
（1）当a=5时，求角A；
（2）当△ABC的面积为27时，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）根据cosB=

4

5

＞0得到B为锐角，根据同角三角函数关系算出sinB的值．再利用正弦定理，算出sinA再结合大边对大角，可得角A的大小；
（2）△ABC的面积为27，根据正弦定理的面积公式可得ac=90，再用余弦定理可算出a²+c²=180．最后配方可得（a+c）²的值，从而得到a+c的值．

解答：解：（1）∵cosB=

4

5

＞0，∴B为锐角，且sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinA=

asinB

b

=

1

2

又∵a＜b，得角A＜B
∴A=

π

6

（舍

5π

6

）…（7分）
（2）∵△ABC的面积S=

1

2

acsinB，sinB=

3

5

，
∴

3

10

ac=27，即ac=90．
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
可得36=a2+c2-

8

5

ac=a2+c2-144，即a²+c²=180．
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=180+180=360，
所以，a+c=6

10

．…（15分）

点评：本题在△ABC中，已知两边和一边的对角，求另一边所对的角，再已知面积的情况下求边a与c的和．着重考查了正余弦定理、三角形面积公式和同角三角函数关系等知识，属于中档题．