Question

【题目】如图所示，四棱锥的底面是梯形，且, 平面， 是中点， ．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）若， ，求直线与平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）．

【解析】试题分析：（I）取的中点，连结，证得，从而证得平面，根据平行四边形的性质，得，即可证明平面；（II）分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求解出平面和向量，即可利用向量所成的角，得到直线与平面所成角的大小．

试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．

因为，所以．

因为平面， 平面，

所以．又因为，

所以平面．

因为点是中点，所以，且．

又因为，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，所以平面．

（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，

因为平面， 平面，所以，所以．

因为，由（Ⅰ）知， 又因为，

所以，所以

所以为正三角形，所以，

因为平面， 平面，

所以．

又因为，所以平面．

故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示．

， ， ，

所以， ， ，

设平面的法向量，

则所以取，则，

设与平面所成的角为，则，

因为，所以，所以与平面所成角的大小为．