Question

设函数， ．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；

（Ⅲ）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

 解：（Ⅰ），，  

①，函数在上单调递增     

②，，函数的单调递增区间为

，函数的单调递减区间为    ．

（Ⅱ）存在，使得成立

等价于：，

考察， ，     

		递减	极（最）小值	递增

 

．

由上表可知：，

，             

所以满足条件的最大整数；                     

（Ⅲ）问题等价于当，，

即当时，恒成立，

等价于恒成立，                           

记，所以

，   。

记，当，

即函数在区间上递增，

当，，即函数在区间上递减，

取到极大值也是最大值            所以。                                    

_{另解：设，，}

∵，，∴在上递减，

且，∴当时，，时，，

即函数在区间上递增，在区间上递减，

所以，所以。