Question

函数f(x)=

sinx

5+4cosx

的值域是

[-

1

2

，

1

2

]

．

Answer 1

分析：先将函数两边平方，转化为关于cosx的函数，再利用换元法令cosx=t，将函数f（x）的平方转化为关于t的函数，并设其为g（t），利用导数求函数g（t）的值域，进而求得函数f（x）的值域

解答：解：令cosx=t，则t∈[-1，1]
∵f²（x）=

sin2x

5+4cosx

=

1-cos 2x

5+4cosx

=

1-t2

5+4t

设g（t）=

1-t2

5+4t

  t∈[-1，1]
则g′（t）=

-2t(5+4t)-4(1-t2)

(5+4t) 2

=

-2(t+2)(2t+1)

(5+4t) 2

由g′（t）＜0，得-

1

2

＜t≤1，由g′（t）＞0，得-1≤t＜-

1

2

即函数g（t）在[-1，-

1

2

]上为增函数，在[-

1

2

，1]上为减函数
且g（-1）=0，g（-

1

2

）=

1

4

，g（1）=0
∴0≤g（t）≤

1

4

，即0≤f²（x）≤

1

4

，
∴f（x）∈[-

1

2

，

1

2

]
故答案为[-

1

2

，

1

2

]

点评：本题考查了利用换元法求三角函数最值的方法，同角三角函数基本关系式的运用，转化化归的思想方法，导数的应用