Question

已知函数f(x)=log

1

2

(

x2-1

-x)（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义予以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，

x2-1

-x＞0，解不等式可求函数定义域
（2）利用单调性定义证明：要判断函数f（x）的单调性，只要先判断函数g（x）的单调性，由函数y=log

1

2

x在（0，+∞）上是减函数，及复合函数的单调性可判断f（x）的单调性

解答：解：（1）由

x2-1

-x＞0?

x2-1

＞x?

x2-1≥0 x≥0 x2-1＞x2

或

x2-1≥0 x＜0

?x≤-1，
故f（x）的定义域为[-∞，-1]
证明：（2）任取x₁＜x₂≤-1，令g(x)=

x2-1-x

，
则g(x2)=g(x1)=(

x22-1

-x2)-(

x 2 1 -1

-x1)=(

x 2 2 -1

-

x2-1

)-(x2-x1)
=

x 2 2 -x12

x 2 2 -1 + x 2 1 -1

-(x2-x1)=

(x2-x1)[(x2+x1)-( x 2 2 -1 + x12-1 )]

x 2 2 -1 + x 2 1 -1

=

-(x2-x1)[( x22-1 -x2)+( x12-1 -x1)]

x 2 2 -1 + x12-1

＜0，
故g（x₂）＜g（x₁）又函数y=log

1

2

x在（0，+∞）上是减函数，
所以有log

1

2

g(x2)＞log

1

2

g(x1)，即f（x₂）＞f（x₁），
即f（x）在（-∞，-1]上是增函数

点评：本题主要考查了对数函数的定义域的求解，函数单调性定义的应用及复合函数单调性的应用，属于函数知识的综合应用．