Question

下列几个命题：
①方程x²+（a-3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②函数y=的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③函数y=log₂（x+1）+2的图象可由y=log₂（x-1）-2的图象向上平移4个单位，向左平移2个单位得到；
④若关于x方程|x²-2x-3|=m两解，则m=0或m＞4；
⑤函数f（x）=的值域是（0，2]．
其中正确的有    ．

Answer 1

【答案】分析：①已知方程是一个二次函数，根据根与系数的关系，求出a的范围；
②根据反比例函数的图形和性质进行求解；
③根据对数函数的性质和平移的公式进行验证求解；
④我们根据对称变换图象的性质，我们易得方程|x²-2x-3|=m有两解时，m的取值范围，进而判断④的真假；
⑤根据根号有意义的条件先求出定义域，再根据配方法求出函数f（x）的值域；
解答：解：①中，若程x²+（a-3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根
则x₁•x₂=a＜0，故①正确；
②函数y=的单调递减区间是，（-∞，0），（0，+∞），故②错误；
③y=log₂（x-1）-2的图象向上平移4个单位，可得y=log₂（x-1）-2+4=log₂（x-1）+2，
向左平移2个单位得到y=log₂（x+1）+2，故③正确；
④y=|x²-2x-3|的图象如图示：
由图可知若关于x方程|x²-2x-3|=m有两解，则m=0或m＞4，故④正确；
⑤函数f（x）=，可得3+2x-x²≥0，可得-1≤x≤3，
∵3+2x-x²=-（x-1）²+4，可得x=1取最大值为4，
x=-1或3取得最小值为0，
∴函数f（x）=的值域是[0，2]．
故⑤错误；
故答案为：①③④；
点评：本题考查的知识点有韦达定理，复合函数的定义域，函数图象的平移变换，函数的零点，函数的对称性，我们根据上述定义和概念，对五个结论逐一进行判断即可得到答案．