题目内容

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx（x∈R）
（I）求f（ $数学公式$ ）的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

解：（Ⅰ）∵f（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin2x…（3分）
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ …（6分）
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sinπ+ $\text{[math]}$ …（8分）
（Ⅱ）令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ …（10分）
∴2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，f（x）单调递增．
∴f（x）单调递增区间为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]（k∈Z）…（12分）
分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦与余弦和辅助角公式将f（x）=cos²x+sinxcosx（x∈R）化简为：f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．即可求f（ $\text{[math]}$ ）的值；
（Ⅱ）由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 即可求得f（x）的单调递增区间．
点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考察辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的单调性，属于中档题．