Question

已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立；
（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f（1）=2，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），记Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，且对一切正整数n有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，令x=0，y=1，即可求得f（0）的值；且当x＞0时，f（x）＞1，当x＜0时，-x＞0，可证有0＜f（x）＜1成立；
（II）根据函数单调性的定义讨论函数的单调性；
（III）f（1）=2，数列{a_n}满足a_n=f（n），探讨数列{a_n}的特性，从而求得s_n，对一切正整数n有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，
求得s_n的最值，求得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）令m=0，n=1，得f（1）=f（0）f（1），
由题意得f（1）＞1，所以f（0）=1．
若x＜0，则f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
∴f(x)=

1

f(-x)

．
由已知f（-x）＞1，得0＜f（x）＜1．

（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R且设x₁＞x₂，
由已知和（Ⅰ）得f（x）＞0（x∈R），
∴

f(x1)

f(x2)

=

f(x1-x2+x2)

f(x2)

=f(x1-x2)，（7分）∵x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f（x）在R上是增函数．

（Ⅲ）

an

an-1

=

f(n)

f(n-1)

=f(1)=2，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴a_n=2ⁿ．Sn=

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n．
又对一切正整数n，有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，
即f(

1-m

)≥2恒成立．
又f（1）=2，∴f(

1-m

)≥f(1)恒成立．
又由（Ⅱ）得

1-m

≥1，
解得m的取值范围是m≤0．

点评：考查抽象函数赋值法求某些点的函数值，利用函数单调性的定义讨论抽象函数的单调性问题，特别是（Ⅲ）和数列和恒成立问题综合，加大了试题的难度，属难题．