Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）上一点P的坐标为（x₀，y₀）及直线y=-

p

2

上一点Q(m，-

p

2

)，过点Q作抛物线的两条切线QA，QB（A，B为切点）．
（1）求过点P与抛物线相切的直线l的方程；
（2）求直线AB的方程．
（3）当点Q在直线y=-

p

2

上变化时，求证：直线AB过定点，并求定点坐标．

Answer 1

分析：（1）由x²=2py（p＞0）得y=

1

2p

x2，故y′=

1

p

x，由此能求出过点P与抛物线相切的直线l的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线QA方程为x₁x-p（y+y₁）=0，直线QB方程为x₂x-p（y+y₂）=0，又点Q(m，-

p

2

)为直线QA，QB的交点，能求出直线AB的方程．
（3）由AB的方程知直线AB过定点，定点坐标坐标为(0，

p

2

)．

解答：解：（1）由x²=2py（p＞0）得y=

1

2p

x2，故y′=

1

p

x，故过点P与抛物线相切的直线l的方程为y-y0=

x0

p

(x-x0)，
化简得，x₀x-p（y+y₀）=0（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）得，直线QA方程为x₁x-p（y+y₁）=0，
直线QB方程为x₂x-p（y+y₂）=0，又点Q(m，-

p

2

)为直线QA，QB的交点，
故x1m-p(-

p

2

+y1)=0，x2m-p(-

p

2

+y2)=0
故点A，B都在直线上mx-p(y-

p

2

)=0，
即直线AB的方程为mx-p(y-

p

2

)=0（12分）
（3）由（2）知直线AB过定点，定点坐标坐标为(0，

p

2

)（15分）
注：其他解法相应给分．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．