Question

设x₁＜x₂，定义区间[x₁，x₂]的长度为x₂-x₁．若函数y=2^|x|，x∈[a，b]的值域与y=

x

+

3-3x

的值域相同，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为

1

．

Answer 1

分析：先利用导数正确求出函数y=

x

+

3-3x

的值域，进而利用单调性求出函数y=2^|x|取何定义域时的值域与之相同即可．

解答：解：对于函数y=

x

+

3-3x

，∵x≥0，1-x≥0，∴0≤x≤1．∴此函数的定义域为[0，1]．
y′=

1

2 x

+

-3

2 3-3x

=

3-3x -3 x

2 x(3-3x)

，令y^′=0，解得x=

1

4

．
当x∈[0，

1

4

)时，y^′＞0；当x∈(

1

4

，1]时，y^′＜0．
∴函数f（x）=y=

x

+

3-3x

在区间[0，

1

4

)上单调递增，在区间(

1

4

，1]是单调递减．
又f(0)=

3

，f（1）=1，f(

1

4

)=2，∴f（x）_max=2，f（x）_min=1，
函数y=

x

+

3-3x

的值域为[1，2]．
当x∈[0，1]时，函数y=2^|x|，x∈[0，1]的值域为[1，2]．
则区间[0，1]的长度的最大值与最小值的差为1．
故答案为1．

点评：正确求出函数y=

x

+

3-3x

的值域及与利用单调性求出函数y=2^|x|取何定义域时的值域相同是解题的关键．