Question

如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E为PD中点.

(1)求证:PA⊥平面ABCD;

(2)求二面角E-AC-D的大小;

(3)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为?若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解法一:(1)证明:∵底面ABCD为正方形,

∴BC⊥AB.又BC⊥PB,∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PA.

同理CD⊥PA,

∴PA⊥平面ABCD.

(2)解:设M为AD中点,连结EM.又E为PD中点,

可得EM∥PA,从而EM⊥底面ABCD.过M作AC的垂线MN,垂足为N,连结EN.

由三垂线定理有EN⊥AC,∴∠ENM为二面角EACD的平面角.

在Rt△EMN中,可求得EM=1,MN=,∴tan∠ENM==2.

∴二面角EACD的大小为arctan2.

(3)解:由E为PD中点可知,要使得点E到平面PAF的距离为,

即要求点D到平面PAF的距离为.过D作AF的垂线DG,垂足为G,

∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAF⊥平面ABCD.∴DG⊥平面PAF,

即DG为点D到平面PAF的距离.∴DG=.

∴AG=.设BF=x,由△ABF与△DGA相似可得,∴=2,即x=1.

∴在线段BC上存在点F,且F为BC中点,使得点E到平面PAF的距离为.

解法二:(1)证明:同解法一.

(2)解:建立如图的空间直角坐标系A—xyz,

则A(0,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1).

设m=(x,y,z)为平面AEC的一个法向量,则m⊥,m⊥.又=(0,1,1),=(2,2,0),∴令x=1,则y=-1,z=1,得m=(1,-1,1).

又=(0,0,2)是平面ACD的一个法向量,

设二面角EACD的大小为θ,则cosθ=cos〈m,〉=.

∴二面角E-AC-D的大小为arccos.

(3)解:设F(2,t,0)(0≤t≤2),n=(a,b,c)为平面PAF的一个法向量,

则n⊥,n⊥.又=(0,0,2),=(2,t,0),∴

令a=t,则b=-2,c=0,得n=(t,-2,0).

又=(0,1,1),∴点E到平面PAF的距离=.∴,

解得t=1,即F(2,1,0).

∴在线段BC上存在点F,且F为BC中点,使得点E到平面PAF的距离为.