Question

∫

π 2 0

cos2

x

2

dx+

∫

1 0

1-x2

dx=．

π+1

2

．

Answer 1

分析：利用倍角公式对cos²

x

2

进行降幂，求出其原函数，对于

∫

1 0

1-x2

dx的值，我们可以利用他表示的几何意义即三角形的面积进行求解；

解答：解：

∫

π 2 0

cos2

x

2

dx=

∫

π 2 0

1

2

(1+cosx)dx=

π

4

+

1

2

sinx|

π 2 0

=

π

4

+

1

2

；
定积分

∫

1 0

1-x2

dx中y=

1-x2

≥0，在（0，1）上的积分就是圆x²+y²=1，在第一象限的面积，
∴

∫

1 0

1-x2

dx=

1

4

×π=

π

4

，
∴

∫

π 2 0

cos2

x

2

dx+

∫

1 0

1-x2

dx=

π

4

+

1

2

+

π

4

=

π+1

2

，
故答案为：

π+1

2

点评：本题主要考查了定积分的运算，定积分是一种“和”的极限，蕴含着分割、近似代替，求和、取极限的思想方法，属于基础题．