题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知lga-lgb=lgcosA-lgcosB，
（Ⅰ）若 $数学公式$ ，求角A；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求cosB的值．

解：∵lga-lgb=lgcosA-lgcosB，
∴lg $\text{[math]}$ =lg $\text{[math]}$ ，A、B∈（0， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴acosB=bcosA，由正弦定理可得 sinAcosB=sinBcosA，sin（A-B）=0，
∵A、B∈（0， $\text{[math]}$ ），
∴A=B，即a=b，△ABC为等腰三角形．
又c= $\text{[math]}$ b，由余弦定理得：c²=3b²=b²+a²-2abcos=2b²-2b²cosC，
∴cosC=- $\text{[math]}$ ，又C∈（0，π），
∴C= $\text{[math]}$ ，又A=B，A+B+C=π，
∴A= $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）∵cosC= $\text{[math]}$ ，
∴sinC= $\text{[math]}$ ，
∴由余弦定理c²=b²+a²-2abcos=2a²-2a²× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a²，
∴c= $\text{[math]}$ a，
∴sinC= $\text{[math]}$ sinA，而sinC= $\text{[math]}$ ，
∴sinA= $\text{[math]}$ ，又A、B∈（0， $\text{[math]}$ ），A=B，
∴cosB=cosA= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由题意可得A、B∈（0， $\text{[math]}$ ），tanA=tanB，从而有A=B；又c= $\text{[math]}$ b，由余弦定理可求角A；
（Ⅱ）由cosC= $\text{[math]}$ ，利用余弦定理可得c= $\text{[math]}$ a，再利用正弦定理将该式转化为角的正弦，利用三角函数间的关系式即可求得cosB的值．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，得到tanA=tanB，是解题的关键，考查学生综合运用三角知识解决问题的能力，属于难题．