Question

已知函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)(ω＞0)的最小正周期为π．
（1）用“五点法”作函数y=f（x）（x∈[-

π

2

，

π

2

]）的图象．
（2）求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）先化简f（x），由周期可求ω，从而得f（x）解析式，然后用“五点法”可得f（x）的图象，注意x的范围；
（2）根据正弦函数的单调性可得2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解出x范围，写为区间即得答案；

解答：解：（1）f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

，
∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1，
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
列表：
作图如下：
．
（2）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z．

点评：本题考查“五点法”作y=Asin（ωx+φ）的图象及函数的单调性，“五点法”作图是高考考查的重点内容，要使熟练掌握．