Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，

Sn

n

)在直线y=

1

2

x+

11

2

上，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{2an•bn}前n项的和．

Answer 1

分析：（1）利用点(n，

Sn

n

)在直线y=

1

2

x+

11

2

上，求得S_n，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}的通项公式；确定数列{b_n}是等差数列，利用b₃=11，前9项和为153，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{2an•bn}前n项的和．

解答：解：（1）由题意可知

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，∴Sn=

1

2

n2+

11

2

n
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+5
n=1时，a₁=S₁=6也适合
∴a_n=n+5；
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
∴{b_n}是等差数列
∵前9项和为153
∴

9(b1+b9)

2

=9b₅=153，∴b₅=17
∵b₃=11，∴公差d=

b5-b3

2

=3
∴b_n=3n+2；
（2）设数列{2an•bn}前n项的和T_n，则
T_n=2⁶×5+2⁷×8+…+2ⁿ⁺⁵•（3n+2）①
∴2T_n=2⁷×5+2⁸×8+…+2ⁿ⁺⁶•（3n+2）②
①-②：-T_n=2⁶×5+3×（2⁷+2⁸+…+2ⁿ⁺⁵）-2ⁿ⁺⁶•（3n+2）=-2⁶-（3n-1）•2ⁿ⁺⁶
∴Tn=(3n-1)•2n+6+64

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与函数的联系，正确运用求和公式是关键．