Question

设函数
(I)讨论的单调性；
（II）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）（1）当时，故在上单调递增 ；
（2）当时，的两根都小于，在上，，
故在上单调递增；
（3）分别在上单调递增，在上单调递减．
（II）不存在，使得 

试题分析：（I）的定义域为        1分
令，其判别式                   2分
（1）当时，故在上单调递增        3分
（2）当时，的两根都小于，在上，，
故在上单调递增                       4分
（3）当时，的两根为，
当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．     6分
（II）由（I）知，．因为，
所以               7分
又由(I)知，．于是               8分
若存在，使得则．即．     9分
亦即                     0分
再由（I）知，函数在上单调递增，         11分
而，所以这与式矛盾．
故不存在，使得                       12分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间，得到直线斜率表达式。存在性问题，往往要假设存在，利用已知条件探求。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。