Question

设数列{a_n}中的前n项和Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0．
（1）求a₁、a₂；
（2）求{a_n}的通项；
（3）令b_n=20-a_n，求数列{b_n}的前多少项和最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）y由Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0，当n=1时，，可求a₁=1，当n=2时，S₂=1+a₂可求a₂=3
（2）由Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0．可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2

4

-

( an-1+1)2

4

可得a_n-a_n-1=2，结合等差数列的通项公式可求
（3）由b_n=20-a_n=21-2n可得S_n=-n²+20n=-（n-10）²+100，结合二次函数的性质可求和的最大值及取得最大值的条件

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0
当n=1时，a₁=s1=

1

4

(a1+1)2，此时a₁=1
当n=2时，S₂=1+a₂=

1

4

(a2+1)2，此时a₂=3
（2）∵Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2

4

-

( an-1+1)2

4

∴（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
∴（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n＞0
∴a_n+a_n-1≠0
∴a_n-a_n-1=2
数列{a_n}是以2为公差，以为首项的等差数列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（3）∵b_n=20-a_n=21-2n
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=19n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+20n
=-（n-10）²+100
当n=10，和最大，最大值是100

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的项及数列的通项，等差数列的通项公式及求和公式的综合应用，解题的关键是能综合应用等差数列的综合知识．