Question

已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(x∈R，a>0)，-2是f(x)的一个零点，又f(x)在x=0处有极值，在区间(-6，-4)和(-2，0)上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．

   (I)求c的值；

   (Ⅱ)求的取值范围；

   (Ⅲ)当b=3a时，求使{y|y=f(x)，-3≤x≤2}[-3，2]成立的实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f(x)=ax³+bx²+cx+d 

∴f(x)=3ax²+bx+c

又f(x)在x=0处有极值

∴f(0)=0，即c=0

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：

      f(x)=3ax²+2bx

     令f(x)=0

     ∴x=0或x=

    又∵f(x)在区间（-6，-4）和（-2，0）上单调且单调相反

     ∴ -4≤≤-2

     故 3≤≤6

（Ⅲ）∵b=3a，且-2是f(x)=ax³+3ax²+d的一个零点

       ∴f(-2)=-8a+12a+d+0

       ∴d=-4a

        从而f(x)= ax³+3ax²-4a

       ∴f(x)=3ax²+6ax.令 f(x)=0, ∴x=0或x=-2

当a>0时列表讨论如下：

x	-3	(-3,-2)	-2	(-2.0)	0	(0,2)	2
f′(x)		+	0	-	0	+
f(x)	-4a		0		-4a		16a

∴当-3≤x≤2时，-4a≤f(x) ≤16a

     从而

∴存在实数,满足题目要求