Question

已知函数f(x)=

3

x+1

，其定义域为[2，5]，
（1）用定义证明：函数f（x）在定义域[2，5]上为减函数．
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）严格按照定义，先在区间[2，5]上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号，得到结论．
（2）由（1）得函数f(x)=

3

x+1

在区间[2，5]上为减函数．所以函数f（x）在端点处取得最值．

解答：（1）证明：任取x₁，x₂∈[2，5]，且x＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

3

x1+1

-

3

x2+1

=

3[(x2+1)-(x1+1)]

(x1+1)(x2+1)

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

因为2≤x₁＜x₂≤5，得，x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数f(x)=

3

x+1

在区间[2，5]上为减函数．
（2）解：由（1）得函数f(x)=

3

x+1

在区间[2，5]上为减函数．
所以函数f（x）在x=2时取得最大值，最大值为1；
在x=5时取得最小值，最小值为

1

2

．
所以函数的值域为[

1

2

，1]．

点评：本题主要考查函数的单调性及求最值，要注意在研究函数最值或值域时，一定要先研究单调性．