Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，，n=2，3，4，…，
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式；
（Ⅲ）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a_n}中是否存在连续的2^m项构成等差数列？若存在，写出这2^m项，并证明这2^m项构成等差数列；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为a₁=1，
所以a₂=1+2a₁=3，，a₄=1+2a₂=7，；
（Ⅱ）证明：由题意，对于任意的正整数n，，
所以，
又，
所以，
又，
所以{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以b_n=2ⁿ；
（Ⅲ）存在。
事实上，对任意的m≥2，k∈N*，
在数列{a_n}中，这连续的2^m项就构成一个等差数列。
我们先来证明：“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2^n-1），k∈N*，有”，
由（Ⅱ），得，
所以，
当k为奇数时，，
当k为偶数时，，
记，
因此要证，
只需证明，
其中，k₁∈N*，
（这是因为若，则当时，则k一定是奇数）
有
；
当时，则k一定是偶数，
有
，
如此递推，要证，
只要证明，
其中，k₂∈N*，
如此递推下去，我们只需证明，
即，
由（Ⅱ）可得，所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2^n-1），k∈N*，
有，
对任意的m≥2，m∈N*，
，其中i∈（0，2^m-1），i∈N*，
所以，
又，
所以，
所以这连续的2^m项，是首项为，公差为的等差数列。