Question

已知f（x）是定义在实数集上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²+2x+3，求函数f（x）的解析式，并写出其单调区间．

Answer 1

解：设x＜0，则-x＞0，于是f（-x）=（-x）²-2x+3=x²-2x+3．
又∵f（x）是定义在实数集上的奇函数，∴f（0）=0，f（x）=-f（-x）=-（x²-2x+3）=-x²+2x-3．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=．
即f（x）=，并画出其图象可知函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）皆单调递增．
分析：由已知f（x）是定义在实数集上的奇函数，可得f（0）=0，f（x）=-f（-x），据此可求出解析式．根据解析式画出其图象即可求出单调区间．
点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，深刻理解它们是解决问题的关键．