Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+

1

2

，且f(

1

2

)=0，当x＞

1

2

时，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）求和f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；
（3）判断函数f（x）的单调性并证明．

Answer 1

（1）f（1）=f（

1

2

）+f（

1

2

）+

1

2

=0+0+

1

2

=

1

2

，（2分）
（2）∵f（2）=f（1）+f（1）+

1

2

=3×

1

2

，
f（3）=f（2）+f（1）=5×

1

2

，…
f（n）=（2n-1）×

1

2

，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=

1

2

（1+3+5+…（2n-1））=

1

2

n²（7分）
（3）f（x）=（ 2x-1）×

1

2

=x-

1

2

，在其定义域内是增函数，
证明：设  a＜b，f（b）-f（a）=（b-

1

2

）-（a-

1

2

）=b-a，由题设知，b-a＞0，
∴f（b）-f（a）＞0，f（b），＞f（a），∴f（x）在其定义域内是增函数．