Question

以下正确命题的为

②③④

①命题“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x²-x-2＜0”；
②函数f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x的零点在区间(

1

3

，

1

2

)内；
③在极坐标系中，极点到直线l：ρsin(θ+

π

4

)=

2

的距离是

2

．
④函数f（x）=e^-x-e^x的图象的切线的斜率的最大值是-2；
⑤线性回归直线

y

=

b

x+

a

恒过样本中心(

.

x

，

.

y

)，且至少过一个样本点．

Answer 1

分析：由含有量词的命题的否定规则，得到①不正确；根据函数零点存在性定理，可得②是真命题；将直线l的极坐标方程化成普通方程，结合点到直线的距离公式加以验证，可得③是真命题；根据导数的运算法则与导数的几何意义，结合基本不等式求最值，可得④是真命题；根据线性回归的概念与性质，可得⑤不正确．由此可得本题的答案．

解答：解：对于①，命题的否定为“任意的x∈R，x²-x-2＜0”，所以①不正确；
对于②，因为f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x，满足f(

1

3

)=(

1

3

)

1

3

-(

1

2

)^

1

3

＜0，且f(

1

2

)=(

1

2

)

1

3

-(

1

2

)^

1

2

＞0，
所以函数的零点在区间(

1

3

，

1

2

)，所以②是真命题；
对于③，将极坐标方程化成普通方程，得x+y-2=0，
利用点到直线的距离公式，得极点（0，0）到直线的距离为
d=

|0+0-2|

2

=

2

，故③是真命题；
对于④，函数f（x）=e^-x-e^x的导数为f′(x)=-e-x-ex=-(ex+

1

ex

)≤-2，
当且仅当ex=

1

ex

，即e^x=1，x=0时取等号，所以切线的斜率的最大值是-2，得④是真命题；
对于⑤，线性回归直线

y

=

b

x+

a

恒过样本中心(

.

x

，

.

y

)，但不一定过样本点，可得⑤不正确，
综上所述，得其中正确命题为②③④．
故答案为：②③④

点评：本题给出几个关于函数的零点、函数图象的切线和直线的极坐标方程的几个命题，求其中的真命题．着重考查了含有量词的命题的否定、函数零点存在性定理、导数的运算法则与几何意义和基本不等式求最值等知识，属于中档题．