题目内容
【题目】已知函数
，
（Ⅰ）当
时，求
的最大值；
（Ⅱ）若对
恒成立，求
的取值范围；
（Ⅲ）证明
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ） 
；（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数
的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数
的最大值即可；（Ⅱ）求出函数
的导数，通过讨论
的范围，得到函数
的单调区间，从而确定
的具体范围即可；（Ⅲ）得到
，取
，作差证出结论即可.
试题解析：（Ⅰ）当
时， 
， 
，当
时， 
单调递增，当
时， 
单调递减， 
函数
的最大值
.
（Ⅱ）
， 
， 
当
时， 
恒成立， 
在
上是减函数， 
适合题意，②当
时， 
， 
在
上是增函数， 
，不能使
在
恒成立；③当
时，令
，得
，当
时， 
在
上为增函数， 
，不能使
在
恒成立， 
的取值范围是
.
（Ⅲ）由（Ⅰ）得
， 
,
取
， 
，则
， 
【题目】共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：
租用单车数量 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每天一辆车平均成本 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： 
，方程乙： 
.
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注： 
， 
称为相应于点
的残差（也叫随机误差））；
租用单车数量 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天一辆车平均成本 | 3.2 | 2 | 1.9 | 1.7 | ||
模型甲 | 估计值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
残差 | 0 |
| 0.1 | |||
模型乙 | 估计值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
残差 | 0.1 | 0 | 0 | |||
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和
及
，并通过比较
， 
的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6，问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润＝收入—成本）.
